Question

已知f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c，在x=1与x=-2时，都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若x∈[-3，2]都有f（x

已知f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c，在x=1与x=-2时，都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若x∈[-3，2]都有f（x）＞ 1 c - 1 2 恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x 2 +2ax+b， 由题意： f′(1)=0 f′(-2)=0 即 3+2a+b=0 12-4a+b=0 解得 a= 3 2 b=-6 （2）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x 2 +3x-6 令f′（x）＜0，解得-2＜x＜1； 令f′（x）＞0，解得x＜-2或x＞1， ∴（x）的减区间为（-2，1）；增区间为（-∞，-2），（1，+∞）． ∴x∈[-3，2]时 ∴当x=1时，f（x）取得最小值- 7 2 +c， ∴f（x） min =- 7 2 +c＞ 1 c - 1 2 得 3- 13 2 ＜c＜0 或 c＞ 3+ 13 2