Question

已知：在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．（1）如图l，求证：AC-AB=2BE．（2）

已知：在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．（1）如图l，求证：AC-AB=2BE．（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA=BA，BE=1，AB=2，求AN的长．

Answer 1

（1）如图1，延长BE交AC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．   
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=AEF=90°．
在△AEB和△AEF中，

∠1＝∠2 AE＝AE ∠AEB＝∠AEF

，
∴△AEB≌△AEF（ASA）
∴AB=AF，∠3=∠4，BE=FE，
∴BF=2BE．
∵∠4=∠5+∠C，
∴∠3=∠5+∠C，
∵∠ABC=∠3+∠5，
∴∠ABC=∠5+∠C+∠5=2∠5+∠C=3∠C，
∴∠5=∠C，
∴CF=BF=2BE．
∵AC-AF=FC，
∴AC-AB=2BE；
（2）如图2，∵△DCA与△MCA关于AC对称，
∴△BCA≌△MCA，
∴AD=AM，∠ACM=∠ACB=

1

2

∠BCM，
∵AM=AB，
∴AD=AB=AM，
∴△DBM是直角三角形，
∴∠BDM=∠CDM=90°．
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°．
∵BE=1，AB=

2

，由勾股定理，得
∴AE=1，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE=45°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°．
∵∠ABC=3∠ACB，
∴∠ACB=22.5°，
∴∠BCM=45°，
∴∠DMC=45°，
∴∠BCM=∠DMC，
∴DM=DC．
∵AM=AB，∠ACM=∠ACB，
∴∠CAM=∠CAB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°．
∵∠ABC+∠BMD=90°，
∴∠ACB=∠BMD．
在△MBD和△CND中

∠BDM＝∠CDM DM＝DC ∠BMD＝∠ACB

，
∴△MBD≌△CND（ASA），
∴CN=BM=2AB=2

2

，
∴AC=2BE+AB=2+

2

，
∴AN=AC-CN=2-

2

．