Question

（2009?孝感模拟）如图：D、E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的棱AA1、B1C1的中点，且棱AA1=8，AB=4，（1）求证

（2009?孝感模拟）如图：D、E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的棱AA1、B1C1的中点，且棱AA1=8，AB=4，（1）求证：A1E∥平面BDC1．（2）求二面角A1-BC1-B1的大小．

Answer 1

解答：证明：在线段BC₁上取中点F，连接EF、DF
则由题意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四边形EFDA₁是平行四边形
∴A₁E∥FD，又A₁E?平面BDC₁，FD?平面BDC₁
∴A₁E∥平面BDC₁                              …（6分）
（2）由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，过点E作
EH⊥BC₁于H，连接A₁H，则∠A₁HE为二面角A₁-BC₁-B₁的平面角        …（8分）
在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4，得BC₁边上的高为

8

5

5

，∴EH=

4

5

5

，
又A₁E=2，∴tan∠A₁HE=

5

2

∴二面角A₁-BC₁-B₁为arctan

5

2

…（12分）