Question

线性代数，二次型的一个小问题，详细步骤

Answer 1

二次型的矩阵 A =
[a1b1 a1b2 a1b3]
[a2b1 a2b2 a2b3]
[a3b1 a3b2 a3b3]
= αβ^T, α, β线性无关，
则 r(A) = 1, 其标准型为 (y1)^2, 选 A。

追问

额，答案不对。

追答

答案也不一定全对，有解答请出示。

追问

不知道为什么这样变

追答

举特例知选 C 。 α = (1, 0, 0)^T, β = (0, 1, 2), f = x1x2 + 2x1x3,
令 x1 = z1+z2, x2 = z1-z2, x3 = z3, f = (z1-z3)^2 - (z2-z3)^2 = (y1)^2 - (y2)^2。

书上和这里这样取，是为了化为平方项。

追问

你开始做的是错在哪里？

追答

只有当矩阵能对角化时，矩阵的秩才与非零特征值个数相等。

发现错误后，随即在评论栏里自我订正了。