Question

设A为m×n，且非齐次线性方程组AX=b有无穷多解，则必有秩（A）

Answer 1

证明：矩阵A为m*n矩阵，即有n个未知数，现在AX=b有无穷多解，那么r(A，b)=r(A)<n，一定系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且小于未知数个数n。

常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b。对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

非齐次线性方程组有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组的通解：

1、只要把齐次方程组的特解换成通解，就成了非齐次方程组的通解。齐次方程组的通解不再赘述。只要再找一个非齐的特解就万事大吉了。

2、任取非齐次线性方程组的解，将其与对应的齐次线性方程组的解相加，可以表示该非齐次线性方程组的全部解。

3、对复杂式子的恐惧是需要克服的，建议学《空间解析几何》，有助于在复杂公式和几何直观之间无痛切换。

Answer 2

矩阵A为m*n矩阵
即有n个未知数
现在AX=b有无穷多解
那么r(A，b)=r(A)<n
一定系数矩阵和增广矩阵的秩相等
且小于未知数个数n