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分享一种解法。设x=sint，∴原式=∫(0,π/2)lnsintdt=I。
而，∫(0,π/2)lnsintdt=∫(0,π/4)lnsintdt+∫(π/4,π/2)lnsintdt。
对后一个积分，设t=π/2-y，∴∫(π/4,π/2)lnsintdt=∫(0,π/4)lncosydy。
∴I=∫(0,π/4)lnsintdt+∫(0,π/4)lncostdt=∫(0,π/4)ln[(sin2t)/2]dt=-(πln2)/4+∫(0,π/4)lnsin2t dt【令2t=s】=-(πln2)/4+(1/2)∫(0,π/2)lnsinsds=-(πln2)/4+(1/2)I。
∴I=-(πln2)/2，即原式=-(πln2)/2。
供参考。
而，∫(0,π/2)lnsintdt=∫(0,π/4)lnsintdt+∫(π/4,π/2)lnsintdt。
对后一个积分，设t=π/2-y，∴∫(π/4,π/2)lnsintdt=∫(0,π/4)lncosydy。
∴I=∫(0,π/4)lnsintdt+∫(0,π/4)lncostdt=∫(0,π/4)ln[(sin2t)/2]dt=-(πln2)/4+∫(0,π/4)lnsin2t dt【令2t=s】=-(πln2)/4+(1/2)∫(0,π/2)lnsinsds=-(πln2)/4+(1/2)I。
∴I=-(πln2)/2，即原式=-(πln2)/2。
供参考。
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追问
兄弟，最后分部积分不对呀
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经过再演算，没有发现错误啊。再试试吧。
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