Question

线性代数中矩阵秩的问题,对AA*=|A|E为什么不能用r(AB)≤min(r(A),r(B))?

线性代数中矩阵秩的问题,对AA*=|A|E为什么不能用r(AB)≤min(r(A),r(B))?
A的秩是n-1,A*的秩是1
用r(AB)≤min(r(A),r(B))的话,r(AA*)的秩应该是≤1

Answer 1

对于ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn,如果i≠j,考察一个新的行列式B,B的第j行等于A的第i行,其余部分和A一样,那么B的第j行的每个代数余子式都有Bjk=Ajk,|B|=ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn.但是要注意到B有两行相同（i和j）,所以|B|=0.

Answer 2

如果A不满秩(r＜n)，那么|A|=0，此时矩阵|A|I因为|A|为0，所以为零阵，秩为0而不是n。