Question

已知a+b=1 求a平方+b平方的值 。解...已知a+b+c=1 求a平方+b平方+c平方的最小值

Answer 1

第一题明显少条件
第二题：
根据a+b+c=1得出①c=1-a-b，a+b=1-c
∴a²+b²+c²
=a²+b²+(1-a-b)²
=a²+b²+1-2(a+b)+(a+b)²
=a²+b²+1-2a-2b+a²+2ab+b²
=2a²+2b²+2ab-2a-2b+1
=2[a²+2ab+b²-ab-(a+b)]+1
=2[(a+b)²-ab-(a+b)]+1
根据a²+b²≥2ab,得ab≤(a+b)²/4
∴2[(a+b)²-ab-(a+b)]+1 ≤
2[(1-c)²-(a+b)²/4-(1-c)]+1
2[(1-c)²-
(a+b)²/4
-(1-c)]+1
=2[3/4
(1-c)²-1+c]+1
=3/2
(1-2c+c²)-2+2c+1
=3/2
-3c+
3/2
c²-1+2c
=3/2
c²
-c+
1/2
=3/2
[c²-
2/3
c+(1/3)²-
1/9]+
1/2
=3/2
(c-
1/3)²+
1/3
∵(a)=3/2＞0
∴开口向上，函数有最小值
∴a²+b²+c²的最小值为
1/3

Answer 2

第一题明显少条件
第二题：
根据a+b+c=1得出①c=1-a-b，a+b=1-c
∴a²+b²+c²
=a²+b²+(1-a-b)²
=a²+b²+1-2(a+b)+(a+b)²
=a²+b²+1-2a-2b+a²+2ab+b²
=2a²+2b²+2ab-2a-2b+1
=2[a²+2ab+b²-ab-(a+b)]+1
=2[(a+b)²-ab-(a+b)]+1
根据a²+b²≥2ab,得ab≤(a+b)²/4
∴2[(a+b)²-ab-(a+b)]+1 ≤
2[(1-c)²-(a+b)²/4-(1-c)]+1
2[(1-c)²-
(a+b)²/4
-(1-c)]+1
=2[3/4
(1-c)²-1+c]+1
=3/2
(1-2c+c²)-2+2c+1
=3/2
-3c+
3/2
c²-1+2c
=3/2
c²
-c+
1/2
=3/2
[c²-
2/3
c+(1/3)²-
1/9]+
1/2
=3/2
(c-
1/3)²+
1/3
∵(a)=3/2＞0
∴开口向上，函数有最小值
∴a²+b²+c²的最小值为
1/3