Question

用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性？

4.5

Answer 1

当a>1时，
lim an=lim a^n/(a^n+n^2) n趋向∞
同时除以a^n
=lim 1/(1+n^2/a^n) n趋向∞
对于lim n^2/a^n n趋向∞
属于 ∞/∞ 利用洛必达法则
=lim 2n/( a^n*lna) n趋向∞
=lim 2/( a^n*(lna)^2) n趋向∞
=0
则原极限=lim 1/1 =1≠0. 发散！
当0<a<1时，
∑an=∑ a^n/(a^n+n^2) n趋向∞
因为a^n<1,则
∑ a^n/(a^n+n^2) <∑ 1/(1+n^2) <∑ 1/n^2
而∑ 1/n^2收敛，
则原级数收敛！