Question

高中数学问题！已知数列an满足a1+2a2+2²a3+......+2^n-1乘an=n²

Answer 1

1、当n=1时，a1=1
当n＞1时，a1+2a2+2²a3+......+2^(n-1)乘an=n²
①
a1+2a2+2²a3+......+2^(n-2)乘a(n-1)=(n-1)²
②
①-②得：2^(n-1)乘an=2n-1
解得：an=(2n-1)/2^(n-1)
当n=1时a1=1，上式成立
故
数列an的通项公式：an=(2n-1)/2^(n-1)
2、Sn=1+3/2+5/2^2+……+(2n-1)/2^(n-1)
①
Sn/2=
1/2+3/2^2+……+(2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2^n
②
①-②得：Sn/2=1+[1+1/2+……+1/2^(n-2)]-(2n-1)/2^n
=1+2-4/2^n-(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n
Sn=6-(2n+3)/2^(n-1)