Question

请教曲面积分问题

Answer 1

和楼主一样，我以前也有这个疑惑。因为好象有时候可以，有时候又不可以。原因就在于没有偶真正理解。
高斯公式的前提是在一个封闭的有连续偏导的空间区域，且其法向量取外侧。也就是要求被积函数定义在这个区域上。但有时题目中给定的并不是一个封闭的区域，比如很通常的一个给法是：z=x2+y2
（0<=z<=4）这个圆锥面的外侧。要用高斯公式的话，就要添加一个曲面z=4,并取上侧，使满足条件。如果应用高斯公式后（即对各分量[偏导后），三重积分的被积函数是f(x,y,z)=z-x2-y2+1,此时能否将原来的z=x2+y2
代入被积函数f（x,y,z）中,从而f（x,y,z）=1呢？显然不行。原因就在此时函数不仅仅定义在原来的区域上，还多可一个我们添加的z=4。正确的做法大家可能都知道。我们如果用柱坐标做，则f=z-r2+1,r为投影预的半径。。。。所以关键是把握一点，曲面积分和曲线积分的被积函数都是在一定区域上的（从它们的推导过程可以得知）。

Answer 2

重积分不能代入，因为是在此积分是一个由函数图像确定的一个区域。
其他都可代入，因为要么在线上要么在面上积分，积分范围都在函数图像上变化，始终不会超过这个范围。
本人自己总结的，一点浅见，要是错了，大家不要见笑。

Answer 3

我不是这个意思
你可能做过这样的题
就是一个曲面积分中
被积函数的分母正好是一个球的方程
在代入了球的方程之后
将分母化成了一个常数
提出积分限外
然后又对剩下的进行高斯公式的变换
变成一个三重积分