Question

数学:帮忙找一下抽象函数的特殊函数

数学:帮忙找一下抽象函数的特殊函数:

条件:定义x在R上的函数满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy

帮忙找一下该满足条件的一个特殊函数
@#@$#!@$#%!@$%:

补充: f(1)=2

Answer 1

f(1) = 2.

f(x+y) - 2xy = f(x) + f(y),
f(x+y) - x^2 - 2xy - y^2 = f(x) - x^2 + f(y) - y^2,
f(x+y) - (x+y)^2 = f(x) - x^2 + f(y) - y^2.

g(x) = f(x) - x^2,
g(x+y) = g(x) + g(y).
g(x)是线性函数。
设g(x) = ax + b.其中，a,b为常数。
a(x+y) + b = ax+b + ay+b, b = 0.
g(x) = ax.
a = g(1) = f(1) - 1 = 2-1 = 1.
g(x) = x.

f(x) = g(x) + x^2 = x + x^2.

Answer 2

y=0
f(x)=f(x)+f(0)+0 => f(0)=0

y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+2x=f(x)+2x+2

y=x
f(2x)=2f(x)+2x^2

y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)-2x^2

y=(k-1)x
f(kx)=f(x)+f((k-1)x)+2(k-1)x^2
=...=kf(x)+2[(k-1)+...+1]x^2
=kf(x)+k(k-1)x^2

x=1
得到 f(k)=kf(1)+k（k-1)=k^2-k+2k=k^2+k

你就考虑f（x)=x^2+x
是满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy

Answer 3

令x=1,y=0
得f(0)=0
f'(x)=lim[f(x+△x)-f(x)]/△x，（△x→0）
=limf(△x)/△x+2x
=lim[f(△x)-f(0)]/△x+2x
=f'(0)+2x
积分得
f(x)=x²+f'(0)x+C
考虑f(0)=0， f(1)=2
f(x)=x²+x

Answer 4

这种问题不一定要找到特殊函数
这是一个类似的问题：http://zhidao.baidu.com/question/90787446.html

Answer 5

f(x)=x^2
f(X)=x^2 f(y)=y^2
f(x+y)=(x+y)^2= x^2 +x^2 +2xy=f(X)+f(y)+2xy

Answer 6

f(x)=x²