Question

非负定矩阵的性质

Answer 1

正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：

令A为 n 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x≠ 0都有 f(x)>0(≥0)，则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 f(x)<0（≤ 0），则称A负定（半负定）矩阵。

例如，单位矩阵E就是正定矩阵。

1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式满足。

即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。

由于A是负定的当且仅当－A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。