《一个数学家的叹息》，原来，数学竟然可以这样学！
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使用数学，我唯一感兴趣的是用数学来度过美好的时光，以及帮助别人也做到这一点。对我的人生而言，除此之外我想象不出更有价值的目标。
我们全部的人，出生到这个世界，到一定时候都会死掉，这就是人生。在这段时间里，让我们好好享受我们的心智，享受我们的心智创造出来的奇妙又好玩的事物吧。我是不知道你的情况怎样，但我可是乐在其中呢。
以上，是数学在作者心中的位置。作者保罗 · 洛克哈特是一位杰出的数学家，立志来教小孩子数学，希望能呈现给孩子们数学的美感和充满想象力的一面，他非常批判“死记硬背”“省略思考过程”的教学方法。本书是他的第一本书，在数学教育圈造成了轰动。
该书很薄，易读，一口气可以看完。它并不是教你如何学习数学的书，而是带你领略一番你不曾发现的数学之美！看完后，我想，你也会有我这样的感受：原来，数学竟然可以这样玩；原来，我们从未真正地懂过它！
读完这本书，我的脑子突然冒出了一句话：“数学，即天启。”
数学就是想知道（提问题）、游戏、用自己的想象力来娱乐自己。
你想知道，这个三角形占据了长方形多少的空间吗？是三分之二吗？学过三角形和长方形面积的同学都知道，三角形面积=长方形面积的一半，那么，上述的答案就出来了。
但是，如果你不知道这个公式呢？你怎么通过自己的方式去得到答案呢？喜欢这个游戏吗？运用我们的想象力，玩玩看！
如果用一条线，把这个 长方形切成两个部分，你看出什么了吗？对，分隔开来的两个部分的形状是分别对称的，也就是说，这个三角形正好占了长方形的一半！
这就是数学的外貌和感觉。数学是一种艺术：我们随意提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。
那怎么才能知道要画那条辅助线呢？灵感、经验、尝试错误、运气。就像画画和创作音律一样，数学也是创造。
现实中的数学教育是如何的呢？让学生死背这个公式“三角形面积等于底乘以高的一半”，然后在习题中反复应用。兴奋之情、乐趣、甚至创造过程中会有的挫折和痛苦，全都消磨殆尽了。问题在提出来的同时就被解答了——学生没事可做。
数学不是在真相里，而是在说明和论证中，如果将焦点集中在“是什么”，排除掉了“为什么”，数学就被降格为了一个空壳子。
数学是说明的艺术。如果不让学生有机会参与这项活动——提出自己的问题、自己猜测与发现、试错、经历创造中的挫折、产生灵感、拼凑出他们的解释和证明——那就不是在学习数学。
上面的例子有特例吗？你还能提出其他相关的问题吗？
你看，如果是这样的三角形，它就不是长方形的一半了，那是为什么？你能找出方法得到这个三角形与长方形之间的比例吗？
如果这是一个长方体，然后里面住着一个金字塔，又会是什么样的比例关系呢？
如果你提不出来这些问题，也不能独立思考，这不是你的错，这是数学长久以来的教育，扼杀了你的想象力和创造力。
这个模式的美就在于，无论三角形的顶点是在圆周的哪里，它都是直角。
这是真的吗？如果是真的，为什么会是真的呢？如果让学生亲自探索，这将是一个多么伟大的习题啊。
可惜，学生不会得到这样的机会，他们的好奇心和兴趣立刻被泼了冷水：
书中已经直接给出论证：
还有什么比这个更无聊、更直截了当的？这绝不是数学。一个证明应该是经由自己探索后的神迹的显现，而不是丑陋的既定结果！
如果让学生自由发挥，你就会知道，学生的思想可以拥有如此震撼的创造力：
将这个三角形绕着圆形转了半圈，定点必然正好和原来的位置处于正对面的位置。一个长方形出现了，这就是为什么它的角是个直角。
在读这本书之前，你能想到，这个问题还可以这么论证吗？
看看奇数相加的结果，组成的序列： 4、9、16、25......
你发现没有，这个结果并不是随机的，事实上，这些数正好是平方数。也就是说，这些刚好是你要搭建一个完美的正方形时，所需要的石头数目。
这个数目可以无限地延续下去，你可以得到任意规模的正方形。
这是多么惊人的发现啊，为什么把连续的奇数相加，总是会得到平方数呢？你会为发现这个问题而兴奋吗？你想不想继续探索为什么呢？
当我们提出问题时，数学的艺术就已经产生了！
继续做这个游戏吧。
我们试着分隔这些小石块，看起来没啥统一性：
然后，突然之间，灵光一闪，呼吸停止、心跳加速的那一瞬间，云开见日，你终于看到了：
一个正方形是 L型叠起来的集合，这些L型里面全部都是奇数。现在你了解为什么数学家会从浴缸里跳起来，裸着身体冲到街上了吧？你了解这个没有实用性、像小孩子玩的游戏，会这么让人无法自拔了吧？
你学习数学，经受过这种感受吗？神圣天启的感受。
让我们继续探索下去：
有什么新发现吗？
任何L型都可以分解成两条“臂”和一个“交点”。两条臂是相等的，所以它们包含相同的数目，而交点则只有一个。这就是为什么总数永远是奇数！
当我们从一个L型到下一个L型时，我们看到每一条臂，都多了正好一个石头，这表示，每一个相接的L型都比前一个多了正好2个石头。这就是为什么这个模式会一直持续下去的原因！
提出问题，注意观察事物，做出猜测，寻找正反例，被激发去发明和探索，做出论证并分析论证，然后提出新的问题。这就是做数学。
在这里，重要的不是“连续的奇数相加会得到平方数”这个事实，重要的是发现、说明和分析。数学真理只是这些活动附带产生的副产品而已。
你还能据此提出其他相关的问题吗？如果是连续的偶数相加呢？
数学是一个完全天真及愉悦的人类心智活动——与自己心智的对话。
看到这里，你对学习数学，有没有什么新的想法呢？与你的孩子一起阅读这本书吧，沿着正确的指引，找到学习数学的兴趣，了解数学的真谛！
书名 ：《一个数学家的叹息：如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界》
作者 ：保罗 ·洛克哈特
出版社 ：上海社会科学院出版社
出版时间 ：2019年08月
推荐指数 ：5星
书籍定位 ：思想书
推荐人群 ：学生、家长以及数学老师
一句话荐读 ：原来，数学可以这样学！
文作于2022-06-29
“专注学习力方面的书籍介绍，我是@派曰书评。”
如该文对您有价值，麻烦给个“在看”或“点赞”，您的举手之劳就是对我最大的肯定。
我们全部的人，出生到这个世界，到一定时候都会死掉，这就是人生。在这段时间里，让我们好好享受我们的心智，享受我们的心智创造出来的奇妙又好玩的事物吧。我是不知道你的情况怎样，但我可是乐在其中呢。
以上，是数学在作者心中的位置。作者保罗 · 洛克哈特是一位杰出的数学家，立志来教小孩子数学，希望能呈现给孩子们数学的美感和充满想象力的一面，他非常批判“死记硬背”“省略思考过程”的教学方法。本书是他的第一本书，在数学教育圈造成了轰动。
该书很薄，易读，一口气可以看完。它并不是教你如何学习数学的书，而是带你领略一番你不曾发现的数学之美！看完后，我想，你也会有我这样的感受：原来，数学竟然可以这样玩；原来，我们从未真正地懂过它！
读完这本书，我的脑子突然冒出了一句话：“数学，即天启。”
数学就是想知道（提问题）、游戏、用自己的想象力来娱乐自己。
你想知道，这个三角形占据了长方形多少的空间吗？是三分之二吗？学过三角形和长方形面积的同学都知道，三角形面积=长方形面积的一半，那么，上述的答案就出来了。
但是，如果你不知道这个公式呢？你怎么通过自己的方式去得到答案呢？喜欢这个游戏吗？运用我们的想象力，玩玩看！
如果用一条线，把这个 长方形切成两个部分，你看出什么了吗？对，分隔开来的两个部分的形状是分别对称的，也就是说，这个三角形正好占了长方形的一半！
这就是数学的外貌和感觉。数学是一种艺术：我们随意提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。
那怎么才能知道要画那条辅助线呢？灵感、经验、尝试错误、运气。就像画画和创作音律一样，数学也是创造。
现实中的数学教育是如何的呢？让学生死背这个公式“三角形面积等于底乘以高的一半”，然后在习题中反复应用。兴奋之情、乐趣、甚至创造过程中会有的挫折和痛苦，全都消磨殆尽了。问题在提出来的同时就被解答了——学生没事可做。
数学不是在真相里，而是在说明和论证中，如果将焦点集中在“是什么”，排除掉了“为什么”，数学就被降格为了一个空壳子。
数学是说明的艺术。如果不让学生有机会参与这项活动——提出自己的问题、自己猜测与发现、试错、经历创造中的挫折、产生灵感、拼凑出他们的解释和证明——那就不是在学习数学。
上面的例子有特例吗？你还能提出其他相关的问题吗？
你看，如果是这样的三角形，它就不是长方形的一半了，那是为什么？你能找出方法得到这个三角形与长方形之间的比例吗？
如果这是一个长方体，然后里面住着一个金字塔，又会是什么样的比例关系呢？
如果你提不出来这些问题，也不能独立思考，这不是你的错，这是数学长久以来的教育，扼杀了你的想象力和创造力。
这个模式的美就在于，无论三角形的顶点是在圆周的哪里，它都是直角。
这是真的吗？如果是真的，为什么会是真的呢？如果让学生亲自探索，这将是一个多么伟大的习题啊。
可惜，学生不会得到这样的机会，他们的好奇心和兴趣立刻被泼了冷水：
书中已经直接给出论证：
还有什么比这个更无聊、更直截了当的？这绝不是数学。一个证明应该是经由自己探索后的神迹的显现，而不是丑陋的既定结果！
如果让学生自由发挥，你就会知道，学生的思想可以拥有如此震撼的创造力：
将这个三角形绕着圆形转了半圈，定点必然正好和原来的位置处于正对面的位置。一个长方形出现了，这就是为什么它的角是个直角。
在读这本书之前，你能想到，这个问题还可以这么论证吗？
看看奇数相加的结果，组成的序列： 4、9、16、25......
你发现没有，这个结果并不是随机的，事实上，这些数正好是平方数。也就是说，这些刚好是你要搭建一个完美的正方形时，所需要的石头数目。
这个数目可以无限地延续下去，你可以得到任意规模的正方形。
这是多么惊人的发现啊，为什么把连续的奇数相加，总是会得到平方数呢？你会为发现这个问题而兴奋吗？你想不想继续探索为什么呢？
当我们提出问题时，数学的艺术就已经产生了！
继续做这个游戏吧。
我们试着分隔这些小石块，看起来没啥统一性：
然后，突然之间，灵光一闪，呼吸停止、心跳加速的那一瞬间，云开见日，你终于看到了：
一个正方形是 L型叠起来的集合，这些L型里面全部都是奇数。现在你了解为什么数学家会从浴缸里跳起来，裸着身体冲到街上了吧？你了解这个没有实用性、像小孩子玩的游戏，会这么让人无法自拔了吧？
你学习数学，经受过这种感受吗？神圣天启的感受。
让我们继续探索下去：
有什么新发现吗？
任何L型都可以分解成两条“臂”和一个“交点”。两条臂是相等的，所以它们包含相同的数目，而交点则只有一个。这就是为什么总数永远是奇数！
当我们从一个L型到下一个L型时，我们看到每一条臂，都多了正好一个石头，这表示，每一个相接的L型都比前一个多了正好2个石头。这就是为什么这个模式会一直持续下去的原因！
提出问题，注意观察事物，做出猜测，寻找正反例，被激发去发明和探索，做出论证并分析论证，然后提出新的问题。这就是做数学。
在这里，重要的不是“连续的奇数相加会得到平方数”这个事实，重要的是发现、说明和分析。数学真理只是这些活动附带产生的副产品而已。
你还能据此提出其他相关的问题吗？如果是连续的偶数相加呢？
数学是一个完全天真及愉悦的人类心智活动——与自己心智的对话。
看到这里，你对学习数学，有没有什么新的想法呢？与你的孩子一起阅读这本书吧，沿着正确的指引，找到学习数学的兴趣，了解数学的真谛！
书名 ：《一个数学家的叹息：如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界》
作者 ：保罗 ·洛克哈特
出版社 ：上海社会科学院出版社
出版时间 ：2019年08月
推荐指数 ：5星
书籍定位 ：思想书
推荐人群 ：学生、家长以及数学老师
一句话荐读 ：原来，数学可以这样学！
文作于2022-06-29
“专注学习力方面的书籍介绍，我是@派曰书评。”
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