Question

函数求极限问题

如图我这样做对吗，我感觉我那个等价无穷小不对，但是答案划线部分哪里为什么可以洛必达，不是还没有满足条件吗





Answer 1

x->0
(1+x)^(2/x)
=e^[2ln(1+x)/x]
=e^【2[x -(1/2)x^2 +o(x^2) ]/x】
=e^[2 -x +o(x) ]
//
lim(x->0) [(1+x)^(2/x) -e^2]/x

=lim(x->0) [e^(2-x) -e^2]/x
=e^2.lim(x->0) [e^(-x) -1]/x
=e^2.lim(x->0) -x/x
=-e^2

Answer 2

讲真，我觉得你的方法还更方便更有技巧

Answer 3

当x→0时，根据重要极限知：lim<x→0>(1+x)^(2/x)=e²
所以，分子→0，此时满足0/0型，可以用罗必塔法则
第一个等号只不过是将(1+x)^(2/x)转换为对数的形式，便于使用罗必塔法则时求导

即：令(1+x)^(2/x)=t
那么，lnt=[ln(1+x)^(2/x)]=(2/x)·ln(1+x)
所以，t=e^[(2/x)·ln(1+x)]
……
接下来就是罗必塔求导的问题了。。。