Question

已知p³+q³=2，求证p+q≤2。 。。。证明题很难 谢谢

Answer 1

本题证法非常多!最常用的最通过立方公作变换证明. 下面举两个较特殊的证法： (1)反证法 假没P+92,那么P2-q, ∴P^3(2-q)^3=8-12q+6q^2-q^3 以p^3+q^3=2代入上式,得 6q^2-12q+60 →6(q-1)^20. 由此得出矛盾. ∴P+q≤2. (2)构造法 构造向量 m=(P^(3/2),q^(3/2)),n=(p^(1/2),q^(1/2)),则 p^2+q^2 =P^(3/2)*p^(1/2)+q^(3/2)*q^(1/2) =|mn| ≤|m||n| =根(P^3+q^3)*根(P+q) =根2*根(P+q) 又(p+q)^2≤2(p^2+q^2) ∴(P+q)^2/2≤P^2+q^2≤根2*根(P+q) ∴(P+q)^2/2≤根2*根(P+q) ∴(p+q)^4≤8(p+q) 即(P+q)^3≤8 ∴P+q≤2.