点到直线距离公式证明
用定义法证明：
证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，
设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A
则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)
把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))
由两点间距离公式得：
PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2
=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2
=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2
=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)
所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。
扩展资料：
一、点到直线距离总公式：
设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为：
考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有：
s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)
d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)
二、引申公式：
1、设直线l1的方程为：
直线l2的方程为：
则 2条平行线之间的间距：
2、设直线l1的方程为：
直线l2的方程为
则 2条直线的夹角
参考资料来源：百度百科-点到直线的距离
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