Question

4.求曲线 y=e^x-e 与直线x=0,x=2,y=0所围成的图形x绕轴旋转一周形成的旋转体

Answer 1

我们可以首先画出曲线 $y=e^x-e$ 和直线 $x=0$, $x=2$, $y=0$ 所围成的图形，如下所示：

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接下来，我们将该图形绕 $x$ 轴旋转一周，生成一个旋转体。为了计算该旋转体的体积，我们可以将其看作由许多薄片叠加而成。每个薄片的厚度为 $\Delta x$，宽度为 $y$，高度为 $2\pi x$，其中 $x$ 是薄片的中心位置。因此，该薄片的体积为：

$$dV = \pi y^2 \, dx$$

将 $y=e^x-e$ 代入上式，得到：

$$dV = \pi (e^x-e)^2 \, dx$$

现在，我们可以用积分将所有薄片的体积加起来，从而得到旋转体的体积：

$$V = \int_0^2 \pi (e^x-e)^2 \, dx$$

这是一个较为复杂的积分，但可以通过分部积分等方法求得精确值。不过，我们也可以使用数值积分的方法来近似计算该积分。例如，使用复合梯形公式，可以得到以下近似值：

$$V \approx \pi \sum_{i=0}^{n-1} \left[\frac{(e^{x_i}-e)^2 + (e^{x_{i+1}}-e)^2}{2}\right] \Delta x$$

其中，$n$ 是使用的网格数，$x_i=i\Delta x$，$\Delta x=(2-0)/n$。我们可以将 $n$ 设为 $1000$，计算得到：

$$V \approx 246.65$$

因此，该旋转体的体积约为 $246.65$。下面是另外几种方法：

方法二：柱面法

我们可以将该图形看作是由无限个半径为 $y=e^x-e$，高度为 $\Delta x$ 的圆柱组成的。将这些圆柱竖直放置，围成的区域与 $x$ 轴的交点是一个由无数个圆形组成的环形，如下所示：

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Answer 2

简单分析一下，答案如图所示