Question

8.设函数 f(x)=2x^3-2x ,若正实数

Answer 1

问：8.设函数 f(x)=2x^3-2x ,若正实数

问：题目见上图

答：回复： 要求是求函数 f(x) 在区间 [0,1] 上的最大值和最小值。 首先，我们需要求出函数 f(x) 的导数：f'(x) = 6x^2 - 2 然后，我们需要找到导数为零的点，即：6x^2 - 2 = 0 解得：x = ±√(1/3) 由于 x 是正实数，所以 x = √(1/3) 接下来，我们需要分别计算函数 f(x) 在端点和关键点处的函数值，从而确定最大值和最小值。具体地： f(0) = 0 f(1) = 0 f(√(1/3)) = 2/3√3 因此，在区间 [0,1] 上，函数 f(x) 的最大值和最小值分别为： 最大值：2/3√3 最小值：0

答：首先，我们需要确定矩形的四个顶点。由题意可知，三个实数b，c，d对应的函数值恰好构成一个矩形的四个顶点，因此我们需要求出这三个实数。 由于函数∫()=2-2x是一个一次函数，因此它的图像是一条直线。而矩形的两条边分别与x轴和y轴平行，因此该矩形的上下两个顶点对应的函数值相等，左右两个顶点对应的自变量也相等。 设函数在d处取得最大值，则有∫(d)=2-2d，因此如果存在一个矩形满足题意，则必须存在两个实数b和c，使得f(b) = f(c) = 2-2d/2 = 1-d。 因此，我们可以列出以下方程组： f(b) = 1 - d f(c) = 1 - d b ≠ c ≠ d 其中，f(x) = 2 - 2x。解方程组可得 b = 1 - d/2， c = 1 + d/2。但是题目要求b、c、d三个实数两两不同，因此d必须满足d/2 ≠ 1，即d ≠ 2。 现在我们已经求出了b、c、d，接下来需要判断是否存在这样的矩形。根据题意，矩形的面积为(d - b) * (f(b) - f(c))，因此我们需要判断这个面积是否大于0。

答：(d - b) * (f(b) - f(c)) = d * (2 - 2d/2 - 1 + d/2) = -d^2 + 3d由于矩形的面积必须大于0，因此有 -d^2 + 3d > 0，即 d < 3.综上所述，a的取值范围为(0, 3)。