Question

正方形ABCD的边长为4,点E是BC边上的动点,过点E作EF垂直AE交CD于点F,点G在A E上，且E G=EF，点M、N分别是GF、CD的中点，联结MN，则MN的最小值为—

Answer 1

问：正方形ABCD的边长为4,点E是BC边上的动点,过点E作EF垂直AE交CD于点F,点G在A E上，且E G=EF，点M、N分别是GF、CD的中点，联结MN，则MN的最小值为—

答：亲亲，您好。很高兴为您解答：首先，根据题意可知， AEF为直角三角形，且 EAF=90^。又因为FEM=90^，所以EF=ME。又因为GF=EF=ME，所以 GME为等腰三角形，即GM=ME。又因为MN为GF的中线，所以MN={1}{2}GF={1}{2}(GM+ME)={1}{2}(2ME)=ME。所以MN的最小值为ME。当点E在边BC的中点时，ME取到最小值，此时ME=2。因此，MN的最小值为{2}。

问：是这个图

问：美女按此图解释一下，谢谢

答：亲:请发文字亲亲，图文太过模糊无法清晰解答

答：首先，连接 $AE$，作 $AH\perp CD$，则 $AH=AE-HE=4-EF$。由于 $\triangle AEF\sim \triangle AHG$，所以 $\dfrac{EF}{AG}=\dfrac{AE}{AH}$，即 $AG=\dfrac{EF\cdot AH}{AE}=\dfrac{EF(4-EF)}{AE}$。又因为 $\triangle EFG$ 为直角三角形，所以 $EG^2=EF^2+FG^2$，即 $EF^2+MN^2=\left(\dfrac{EF(4-EF)}{AE}\right)^2$。对右侧进行展开化简，得到 $EF^4-8EF^3+16EF^2+16AE^2MN^2=0$。将 $MN$ 看成 $CD$ 上的一点 $P$，则 $MP=\dfrac{1}{2}GF=\dfrac{1}{2}\sqrt{EG^2-EF^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{EF^2+\dfrac{EF^2(4-EF)^2}{AE^2}-EF^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{EF^4-8EF^3+16EF^2+16AE^2}$。由于 $P$ 为 $CD$ 上

答：任意一点，故 $MN$ 的最小值为 $MP$ 的最小值，即 $MP$ 的导数为 $0$ 时对应的 $EF$ 值。对 $MP$ 进行求导，得到 $\dfrac{\mathrm{d}MP}{\mathrm{d}EF}=\dfrac{2EF^3-12EF^2+16EF}{4\sqrt{EF^4-8EF^3+16EF^2+16AE^2}}=\dfrac{EF(2EF^2-12EF+16)}{4\sqrt{EF^4-8EF^3+16EF^2+16AE^2}}$。令 $\dfrac{\mathrm{d}MP}{\mathrm{d}EF}=0$，解得 $EF=2\pm\sqrt{2}$。当 $EF=2-\sqrt{2}$ 时，$EF90^\circ$，不符合实际情况。因此，当 $EF=2+\sqrt{2}$ 时，$MN$ 取得最小值。代入 $EF=2+\sqrt{2}$，得到 $MN=\dfrac{1}{2}\sqrt{EF^4-8EF^3+16EF^2+16AE^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$。因此，$MN$ 的最小值

答：$\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$。