Question

如图，△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速

如图，△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒．（1）若a=2，那么t为何值时△BPQ与△BDA相似？（2）已知M为AC上一点，若当t=32时，四边形PQCM是平行四边形，求这时点P的运动速度．（3）在P、Q两点运动工程中，要使线段PQ在某一时刻平分△ABD的面积，点P的运动速度应限制在什么范围内？【提示：对于一元二次方程，有如下的结论：若x1?x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=-ba，x1?x2=ca】

Answer 1

解答：解（1）当a=2时，BP=2t，DQ=1×t=t．
∵D是BC中点，BC=12，
∴BD=DC=6．
∴BQ=6-t．
①当△BPQ∽△BDA时，如图1，
则有

BP

BD

=

BQ

BA

．
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴

2t

6

=

6?t

10

．
解得：t=

18

13

．
②当△BQP∽△BDA时，如图2，
则有

BQ

BD

=

BP

BA

．
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴

6?t

6

=

2t

10

．
解得：t=

30

11

．
∴当a=2时，t=

18

13

秒或

30

11

秒时，△BPQ与△BDA相似．
（2）当t=

3

2

且四边形PQCM是平行四边形时，如图3，
则有PQ∥AC，BP=

3

2

a，DQ=1×

3

2

=

3

2

，BQ=6-

3

2

=

9

2

．
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴

BP

BA

=

BQ

BC

．
∵BP=

3

2

a，BA=10，BQ=

9

2

，BC=12，
∴

3 2 a

10

=

9 2

12

．
解得：a=2.5．
∴点P的速度是2.5厘米/秒．
（3）作PE⊥BC，垂足为E，如图4，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵AB=10，BD=6，
∴AD=8．
∵PE⊥BC，AD⊥BC，
∴△BEP∽△BDA．
∴

EP

AD

=

BP

BA

．
∵AD=8，BP=at，BA=10，
∴

EP

8

=

at

10

．
∴EP=

4

5

at．
∴S_△BPQ=

1

2

BQ?EP=

1

2

（6-t）?

4

5

at=

2

5

at(6?t)．
∵线段PQ平分△ABD的面积，
∴S_△BPQ=

1

2

S_△ABD．
∴

2

5

at(6?t)=

1

2

×6×8．
整理得：at²-6at+60=0．（a＞0）
由题可得：△=（-6a）²-4a×60≥0．
解得：a≥

20

3

．
此时t₁?t₂=

60

a

＞0，t₁+t₂=6＞0．
∴方程at²-6at+60=0有两个小于6的正实根．
∴点P的速度应大于或等于

20

3

厘米/秒．