Question

已知定义域为R的函数f（x）=?2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求a，b的值（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t

已知定义域为R的函数f（x）=?2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求a，b的值（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围（3）证明对任何实数x，c都有f（x）＜c2-3c+3成立．

Answer 1

（1）∵定义域为R的函数f（x）=

?2x+b

2x+1+a

是奇函数．
∴f（0）=

?1+b

2+a

=0，解得b=1．
令x=1，则f（-1）+f（1）=

1?2?1

1+a

+

1?2

4+a

=0，解得a=2．
∴f(x)＝

1?2x

2x+1+2

．
检验：其定义域为R，且f（-x）+f（x）=

1?2?x

21?x+2

+

1?2x

2x+1+2

=

2x?1

2x+1+2

+

1?2x

2x+1+2

=0，
∴f（x）是奇函数．
∴a=2，b=1．
（2）由（1）得：f（x）=

?(2x+1)+2

2(2x+1)

=

1

2x+1

-

1

2

．
∵y=2^x在R上单调递增，∴y＝

1

2x+1

在R上单调递减，
∴f（x）在R上单调递减．
由对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立?f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
∴t²-2t＞k-2t²，化为k＜3t²-2t=3(t?

1

3

)2?

1

3

，
∴k＜?

1

3

．
∴k的取值范围为(?∞，?

1

3

)．
（3）证明：f（x）=

1

2x+1

-

1

2

．
∵2^x＞0，2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，?

1

2

＜f(x)＜

1

2

．
c²-3c+3=(c?

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

，
存在任意实数c∈R，使得c²-3c+3≥

3

4

＞

1

2

＞f（x）．
∴对任何实数x，c都有f（x）＜c²-3c+3成立．