Question

如图，已知正方形ABCD，点P为BC边上一点，作∠APE=45°，交CD的延长线于点E，连接AC交PE于F．（1）求证：

如图，已知正方形ABCD，点P为BC边上一点，作∠APE=45°，交CD的延长线于点E，连接AC交PE于F．（1）求证：PE=2PA；（2）点G在AF边上，且∠PGE=135°，连接DG交PE于N，若PB=3，CF=42，求线段NG的长．

Answer 1

（1）连结AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠DAB=45°
∵∠APE=45°，
∴∠APE=∠ACD．
∵∠AFP=∠EFC，
∴△AFP∽△EFC，
∴

AF

EF

＝

PF

FC

，
∴

AF

PF

＝

EF

FC

．
∵∠AFE=∠PFC，
∴△AFE∽△PFC，
∴∠AEF=∠FCP=45°
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE=

2

AP．

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠ACB=45°，∠B=∠ADE=∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD．
∵△APE是等腰直角三角形，
∴AP=AE．
在Rt△ABP和Rt△ADE中，

AP＝AE AB＝AD

，
∴Rt△ABP≌Rt△ADE（HL），
∴BP=DE．
∵∠APE=45°，
∴∠APE=∠ACD．
∵∠AFP=∠EFC，
∴∠PAC=∠CEF
∴△APC∽△EFC，
∴

CP

CF

＝

CA

CE

．
设BC=CD=x，则CP=x-3，AC=

2

x，CE=x+3，
∴

x?3

4 2

＝

2 x

x+3

，
解得：x₁=9，x₂=-1（舍去）
∴CB=CD=9，
∴CP=6，CE=12．
∵∠PCG=45°，
∴∠PGC+∠GPC=135°
∵∠PGE=135°，即∠PGC+∠CGE=135°，
∴∠GPC=∠CGE，
∵∠PCG=∠CGE，
∴△PCG∽△GCE，
∴CG²=CP?CE，
∴CG=6

2

．
作GK⊥EC于K，
∴∠GKC=∠GKE=90°．
∵∠GCK=45°，
∴∠CGK=45°，
∴CK=KG．
在Rt△CGK中，由勾股定理，得
GK=CG=6，
∴DK=3．
在Rt△GKD，由勾股定理，得
GD=3

5

．
∵GK=PC=6，且GK∥BC
∴四边形GPCK是平行四边形，
∵∠PCK=90°，
∴四边形GPCK是矩形，
∴PG=CK=6，PG∥ED，
∴∠GPE=∠DEP．
∵∠PNG=∠END，
∴△PNG∽△END，
∴

GN

ND

＝

GP

ED

＝

6

3

＝2．
∴GN=2ND，
∵GN+ND=GD=3

5

∴3ND=3

5

，
∴ND=

5

∴GN=2

5

．