Question

设{an}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足4S3=S6，a2+2是a1，a13的等比中项．（I）求数列{an}

设{an}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足4S3=S6，a2+2是a1，a13的等比中项．（I）求数列{an}的通项公式；（II）是否存在m，k∈N*，使am+am+4=ak+2？说明理由；（III）若数列{bn}满足b1=-1，bn+1-bn=an，求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

（I）设公差为d（d＞0），则
∵4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中项，
∴

4(3a1+3d)＝6a1+15d (a1+d+2)2＝a1(a1+12d)

∴

a1＝1 d＝2

或

a1＝? 1 4 d＝? 1 2

∵d＞0，∴

a1＝1 d＝2

∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（II）若存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2，则2m-1+2（m+4）-1=2（k+2）-1，即2k-4m=3
∴k-2m=

3

2

∵m，k∈N^*，∴k-2m=

3

2

不可能成立
∴不存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2；
（III）由题意可得b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b_n-b_n-1=2n-3
将上面n-1个式子相加可得b_n-b₁=

(n?1)(1+2n?3)

2

=（n-1）²
∵b₁=-1，∴bn＝n2?2n．