（2014?郑州一模）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O
（2014?郑州一模）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）...
（2014?郑州一模）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．
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解答：
（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，
D为AA1中点，AB=1，AA1=
，AD=
，
所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=
，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD=
，
所以∠AB1B=∠ABD，
又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB1，
又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1?侧面ABB1A1，
所以CO⊥AB1
所以，AB1⊥面BCD，
因为BC?面BCD，
所以BC⊥AB1．
（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，-
，0），B（-
，0，0），C（0，0，
），B1（0，
，0），D（
，0，0），
又因为
=2
，所以C1(
，
，
)
所以
=（-
，
，0），
=（0，
，
（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=
| 2 |
| ||
| 2 |
所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=
| AB |
| BB1 |
在直角三角形ABD中，tan∠ABD=
| AD |
| AB1 |
所以∠AB1B=∠ABD，
又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB1，
又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1?侧面ABB1A1，
所以CO⊥AB1
所以，AB1⊥面BCD，
因为BC?面BCD，
所以BC⊥AB1．
（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，-
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| 3 |
| ||
| 3 |
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| 3 |
2
| ||
| 3 |
| ||
| 6 |
又因为
| CC1 |
| AD |
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| 3 |
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
所以
| AB |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| AC |
| ||
| 3 |
|
