Question

已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x1＜x2＜π的任意 x1，x2，给出下列结论（1）（ x1-x2）[f（ x2）-f（

已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x1＜x2＜π的任意 x1，x2，给出下列结论（1）（ x1-x2）[f（ x2）-f（ x1）]＞0；（2） x1f（ x2）＜x2f（ x1）；（3）f（ x2）-f（ x1）＜x2-x1；（4）f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)．其中正确的结论为______．（把所有正确的序号都填上）

Answer 1

函数f（x）=sinx，当自变量在（0，π）上变化时，函数的图象是先升后降，
（1）（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0?

f( x 2)?f( x 1)

x 2?x 1

＜0，即图象上任意两点连线的斜率小于0，由函数图象的性质知，此结论不成立
（2） x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）?

f( x 2)

x 2

＜

f( x 1)

x 1

，此说明函数的变化率随着自变量的增大逐渐变小，与函数的变化率的变化相符，故结论正确；
（3）f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁?

f( x 2)?f( x 1)

x 2?x 1

＜1，由导数的定义知此函数在所给的区间上导数值恒小于1，符合题意，故结论正确；
（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)说明函数是一个凸函数，而f（x）=sinx，当自变量在（0，π）上不是凸函数，故此结论不正确
综上（2）、（3）是正确的
故答案为：（2）、（3）