Question

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）证明：AB⊥

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）证明：AB⊥AC1；（Ⅱ）判断直线MN和平面ACC1A1的位置关系，并加以证明．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题意知，CC₁⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，∴CC₁⊥AB．
∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，且AC∩CC₁=C，
∴AB⊥平面ACC₁A₁．
又∵AC₁?平面ACC₁A₁，∴AB⊥AC₁．

（Ⅱ）MN∥平面ACC₁A₁．
证明如下：设AC的中点为D，连接DN，A₁D．
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN∥AB，DN=

1

2

AB．
又∵A₁M=

1

2

A₁B₁，且AB∥A₁B₁，AB=A₁B₁
∴A₁M₌^∥DN．
∴四边形A₁DNM是平行四边形．
∴A₁D∥MN．
∵A₁D?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁．