Question

设函数f（x）= -lnx+ln（x+1），（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不

设函数f（x）= -lnx+ln（x+1），（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ） ， 故当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减， 由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值． （Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时， 由于 ， 故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）； （ⅱ）当a＞0时，由 知 ，其中n为正整数， 且有 ， 又n≥2时， ， 且 ， 取整数n 0 满足 ， 则 ， 即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）； 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为(-∞，0]。