Question

如图，边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，点F在BC延长线上，且∠CAF=∠CFA，AF交CD于点E，交CD于点P．作直线

如图，边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，点F在BC延长线上，且∠CAF=∠CFA，AF交CD于点E，交CD于点P．作直线DF．（1）求 DP PC 的值；（2）证明：E是AF的中点；（3）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）在正方形ABCD中， ∵∠ADP=∠FCP=90°， 又∵∠APD=∠FPC， ∴△ADP ∽ △FCP．               （2分） ∴ DP CP = AD FC ． 又∵∠CAF=∠CFA，且AD=AB=BC=1， ∴FC=AC= 2 ． ∴ DP CP = AD FC = 1 2 = 2 2 ．        （4分） （2）连接CE，由已知可得，AC是⊙O的直径， ∴∠AEC=90°．                 （6分） ∴CE⊥AF． 又∵∠CAF=∠CFA， ∴△ACF是等腰三角形． ∴AE=FE， ∴E是AF的中点．                （8分） （3）直线DF与⊙O相交． ∵在Rt△DCF中，CF＞DC， ∴∠CDF＞∠CFD． 而∠CDF+∠CFD=90°， ∴∠CDF＞45°．                （10分） 连接OD，则∠ODC=45°． ∴∠ODF=∠ODC+∠CDF＞45°+45°=90°． ∴点O到直线DF的距离小于圆的半径． ∴直线DF与⊙O相交．             （13分）