Question

观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能发现什么规律，根据你发

观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：（1）当a=19时，则b、c的值是多少（2）当a=2n+1时，求b、c的值．你能证明所发现的规律吗．

Answer 1

（1）当a=19时，设b=k，则c=k+1，观察有如下规律：19 2 +k 2 =（k+1） 2 ?k=180，故b=180，c=181． （2）当a=2n+1时，设b=k，则c=k+1，根据勾股定理：a 2 +b 2 =c 2 ?（2n+1） 2 +k 2 =（k+1） 2 ?k=2n（n+1），即b=2n（n+1）， c=2n（n+1）+1． 证明：a 2 +b 2 =（2n+1） 2 +[2n（n+1）] 2 =4n 4 +8n 3 +8n 2 +4n+1，[2n（n+1）+1] 2 =4n 4 +8n 3 +8n 2 +4n+1，所以a 2 +b 2 =c 2 ， 所以a、b、c组成的三角形是直角三角形．