Question

如图， 是圆的直径， 垂直于圆所在的平面， 是圆上的点． （1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，求二

如图， 是圆的直径， 垂直于圆所在的平面， 是圆上的点． （1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，求二面角 的余弦值．

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Answer 1

（1）详见试题解析；（2） ．

试题分析：（1）只要证 面 ；（2）可以利用三垂线定理作出二面角的平面角，在三角形中计算也可以利用法向量求解：以 为原点， 所在的直线分别为 轴，直线 所在方向为 轴．先分别求出面 和面 的法向量，再利用法向量的夹角公式解决问题． 试题解析：（1） 面 ，又 ， 面 ， 面 面 ； （2）法一：过 作 于 ， 于 ，连结 ．显然 面 ，由三垂线定理可得 ， 即为所求角． ，   ． 法二：以 为原点， 所在的直线分别为 轴，直线 所在方向为 轴。 则  于是 ， 面 的一个法向量为 ，面 的一个法向量为   由题知，所求二面角的余弦值为 ．