Question

设椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为A，直线AF的倾斜角为45°，（1）求椭圆的离心率；（2

设椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为A，直线AF的倾斜角为45°，（1）求椭圆的离心率；（2）设过点A且与AF垂直的直线与椭圆右准线的交点为B，过A、B、F三点的圆M恰好与直线3x-y+3=0相切，求椭圆的方程及圆M的方程．

Answer 1

（1）∵直线AF的倾斜角为45°，
∴b=c，
∴a=

b2+c2

=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

所以椭圆的离心率为

2

2

；
（2）由（1）知b＝c，a＝

2

c，直线AB的方程为y=-x+c，右准线方程为x=2c，
可得B（2c，-c），
∵AF⊥AB，
∴过A，B，F三点的圆的圆心坐标为(

c

2

，?

c

2

)，
半径r＝

1

2

FB＝

10

2

c，
∵过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切，
所以圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径r，即

| 3 2 c+ 1 2 c+3|

10

＝

10

2

c，
得c=1，
∴b＝1，a＝

2

，所以椭圆的方程为

x2

2

+y2＝1．
圆M的方程为(x?

1

2

)2+(y+

1

2

)2＝

5

2

．