Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；

在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=3，试判断△ABC的形状．

Answer 1

（Ⅰ）由2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC，
利用正弦定理化简得：2a²=（2b-c）b+（2c-b）c，…（2分）
整理得：bc=b²+c²-a²，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，…（4分）
又A为三角形的内角，
则A=60°；…（5分）
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，A=60°，
∴B+C=180°-60°=120°，即C=120°-B，…（6分）
代入sinB+sinC=

3

得：sinB+sin（120°-B）=

3

，…（7分）
∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=

3

，…（8分）
∴

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

，即sin（B+30°）=1，…（10分）
∴0＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，
∴B+30°=90°，即B=60°，…（11分）
∴A=B=C=60°，
则△ABC为等边三角形．…（12分）．