Question

已知函数g（x）=ax 2 -2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）= g(x) x

已知函数g（x）=ax 2 -2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）= g(x) x ．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2 x ）-k?2 x ≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）函数g（x）=ax 2 -2ax+b+1=a（x-1） 2 +1+b-a， 因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 g(2)=1 g(3)=4 ，解得 a=1 b=0 ． …．（6分） （2）由已知可得f（x）=x+ 1 x -2，所以，不等式f（2 x ）-k?2 x ≥0可化为 2 x + 1 2 x -2≥k?2 x ， 可化为 1+ ( 1 2 x ) 2 -2? 1 2 x ≥k，令t= 1 2 x ，则 k≤t 2 -2t+1． 因 x∈[-1，1]，故 t∈[ 1 2 ，2]．故k≤t 2 -2t+1在t∈[ 1 2 ，2]上能成立． 记h（t）=t 2 -2t+1，因为 t∈[ 1 2 ，2]，故 h（t） max =h（2）=1， 所以k的取值范围是（-∞，1]． …（14分）