Question

（2006?哈尔滨）已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点

（2006?哈尔滨）已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+54m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；（2）若AN=158，DN=98，求DE的长；（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根，求BC的长．

Answer 1

解答：（1）证明：△=（-2m）²-4（n²-mn+

5

4

m²）=-（m-2n）²≥0，
∴（m-2n）²≤0，
∴m-2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x²-2mx+n²-mn+

5

4

m²=0有两个相等实根，
∴AM=AN．

（2）解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴

AD

BD

=

DC

AD

，
∴AD²=BD?DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴△ADC∽△BDA，
∴

ED

CD

=

BD

DN

，
∴BD?DC=ED?DN，
∴AD²=ED?DN，
∵AN=

15

8

，DN=

9

8

，
∴AD=DN+AN=3，
∴3²=

9

8

DE，
∴DE=8．

（3）解：由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠AMN+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB，
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE
过点M作MG⊥AN于点G
由MG∥BD得

MG

BD

=

AM

AB

，
∴

S△AMN

S△ABE

=

1 2 AN?MG

1 2 AE?BD

=

AM2

AB2

=

9

64

，
∴

AM

AB

=

3

8

，
∴

AN

AE

=

AM

AB

=

3

8

，
过点A作AH⊥EF于点H，
由AH∥FN，
得

EH

HF

=

AE

AN

=

8

3

，
设EH=8a，则FH=3a，
∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，
∴BF=5a，EF=11a，
由根与系数关系得，

BF+EF＝16a＝ 16 5 k BF?EF＝55a2＝2k2+1

，
解得：a=±

5

5

，
∵a＞0，a=

5

5

，
∴BF=

5

，
由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
∴

AC

BC

=

AN

BM

=

3

5

设AC=3b，则BC=5b
在Rt△ABC中，有AB=4b．
∴AM=

3

2

b．
在Rt△ACM中，有MC=

3 5

2

b
由△ACM∽△FCB得

BC

BF

＝

CM

AM

，∴

BC

5

＝

3 5 2 b

3 2 b

，
∴BC=5．