Question

已知抛物线C1：y=（x+1）2-4的顶点为P，与x轴的交点为A、B（A左B右），将抛物线C1关于x轴作轴对称变换，

已知抛物线C1：y=（x+1）2-4的顶点为P，与x轴的交点为A、B（A左B右），将抛物线C1关于x轴作轴对称变换，再将变换后的抛物线沿y轴的正方向、x轴的正方向都平移．m个单位（m＞l），得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为Q．（1）求m=3时，抛物线C2的解析式；（2）根据下列条件分别求m：①如图1，若PQ正好被y轴平分，求m的值；②如图2，若PQ经过坐标原点，求m的值．（3）如图3，若抛物线C2的顶点Q关于直线PA的对称点Q′恰好落在x轴上，试求m的值．

Answer 1

（1）∵抛物线C₁：y=（x+1）²-4的顶点为P，将抛物线C₁关于x轴作轴对称变换，

∴对称图象解析式为：y=-（x+1）²+4，

∵再将变换后的抛物线沿y轴的正方向、x轴的正方向都平移．m个单位（m＞l），得到抛物线C₂，m=3，

∴抛物线C₂的解析式为：y=-（x-2）²+7；



（2）①∵Q（m-1，m+4），P（-1，-4），PQ被y轴平分，

∴x_Q+x_P=0，

∴m-1=1，
解得：m=2；

②过点P，Q分别作y轴的垂线，垂足分别为：E，F，

∵∠QFO=∠PEO，∠FOQ=∠POE，
∴△OPE∽△OFQ，

∴

OF

FQ

=

OE

PE

=4，

∴OF=4FQ，

∴m+4=4（m-1），
解得：m=

8

3

；



（3）由P（-1，-4），A（-3，0）设直线PA的解析式为y=ax+b，

?a+b＝?4 ?3a+b＝0

，

解得：

a＝?2 b＝?6

，

∴直线PA的解析式为：y=-2x-6，

∴直线PA与y轴交点为：（0，-6）．
设Q关于PA的对称点为Q′，

则∠QQ′O=∠AMO，

∴tan∠QQ′O=tan∠AMO=

OA

OM

=

3

6

=

1

2

，

过Q作QH⊥x轴于H，

则OH=m-1，QH=m+4，Q′H=2m+8，AH=3+（m-1）=m+2，

∴AQ′=2m+8-（m+2）=m+6，

∴AQ=AQ′=m+6，

在Rt△QAH中，AQ²=AH²+QH²，

∴（m+6）²=（m+2）²+（m+4）²，
解得：m₁=-4（舍去），m₂=4．