Question

如图，正方形ABCDE的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．（1）求证：

如图，正方形ABCDE的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）试判断△AEF的形状，并说明理由；（3）若DE=1，求△AFE的面积．

Answer 1

（1）∵AF⊥AE， ∴∠FAE=90°， 即∠FAB+∠BAE=90°， 又∵正方形ABCD中，∠BAD=90°， 即∠DAE+∠BAE=90°， ∴∠FAB=∠DAE， 又∵AB=AD，∠ABF=∠D=90°， ∴△ADE≌△ABF； （2）等腰直角三角形， ∵△ADE≌△ABF， ∴AF=AE， 又∵∠FAE=90°， ∴△AEF等腰直角三角形； （3）∵AD=4，DE=1， ∴AE= AD 2 + DE 2 = 4 2 + 1 2 = 17 ， ∴S △AEF = 1 2 ×AE×AF= 1 2 × 17 × 17 = 17 2 ． ∴△AFE的面积为 17 2 ．