Question

如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（

如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．
由射影定理得EA²=ED?EO．
由切割线定理得EA²=EB?EC，
∴ED?EO=EB?EC，即

ED

BD

=

EC

EO

，
又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，
∴∠EDB=∠OCE．
∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）
（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，
结合（Ⅰ）得：
∠OEC=180°-∠OCB-∠COE
=180°-∠OBC-∠DBE
=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）
=∠DBC-∠ODC=20°．
∴∠OEC的大小为20°．…（10分）