Question

（1）已知a，b∈R，求证：a2+b2≥ab+a+b-1．（2）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：|1-ab|＞|a-b|

（1）已知a，b∈R，求证：a2+b2≥ab+a+b-1．（2）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：|1-ab|＞|a-b|．

Answer 1

证明：（1）（a²+b²）-（ab+a+b-1）
=

1

2

（2a²+2b²-2ab-2a-2b+2）
=

1

2

[（a²-2ab+b²）+（a²-2a+1）+（b²-2b+1）]
=

1

2

[（a-b）²+（a-1）²+（b-1）²]≥0，
则a²+b²≥ab+a+b-1；
（2）|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）．
由于|a|＜1，|b|＜1，则a²-1＜0，b²-1＜0．
则|1-ab|²-|a-b|²＞0，
故有|1-ab|＞|a-b|．