Question

已知函数f（x）=xlnx，当x2＞x1＞0时，给出以下几个结论：①（x1-x2）?[f（x1）-f（x2）]＜0②f(x1)?f(x2

已知函数f（x）=xlnx，当x2＞x1＞0时，给出以下几个结论：①（x1-x2）?[f（x1）-f（x2）]＜0②f(x1)?f(x2)x1?x2＜1③f（x1）+x2＜f（x2）+x1；④x2f（x1）＜x1f（x2）；⑤当lnx1＞-1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）其中正确的是______．

Answer 1

f′（x）=lnx+1，x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，

1

e

）上单调递减；
x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（

1

e

，+∞）上单调递增．
①（x₁-x₂）?[f（x₁）-f（x₂）]＜0不正确，∵当x₁，x₂∈（

1

e

，+∞）时，函数f（x）是增函数，∴x₂＞x₁，得到f（x₂）＞f（x₁）；
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0．
②令g（x）=f（x）-x=xlnx-x，则g′（x）=lnx，设x₁，x₂∈（1，+∞），则g′（x）＞0，所以函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，所以由x₂＞x₁得g（x₂）＞g（x₁）；
∴f（x₂）-x₂＞f（x₁）-x₁，∴

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞1．
③构造函数h（x）=f（x）-x=xlnx-x，h′（x）=lnx，∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，1）上单调递减，设x₁，x₂∈（0，1），所以由x₁＜x₂得，h（x₁）＞h（x₂）；
∴f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，∴

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞1．
④设φ（x）=

f(x)

x

lnx，φ′（x）=

1

x

，∴在（0，+∞）上φ′（x）＞0，∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴由x₁＜x₂得：φ（x₁）＜φ（x₂），即：

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

；
∴x₂f（x₁）＜x₁f（x₂），∴④正确．
⑤∵lnx₁＞-1，∴x＞

1

e

，∵x₂＞x₁，∴x2＞

1

e

；
由前面知，f（x）在（

1

e

，+∞）上是增函数，所以（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂）＞0，即x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）．
由④知x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）得：x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞2x₂f（x₁）．
∴x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₂f（x₁），∴⑤正确．故答案是：④⑤．