Question

y=y(x)有方程e的y次方 +xy=e确定 求y''(1)

详细解答，此应该为隐函数求导，我求出了y'=-y/e的y次方 +x
接下来该怎么做？当x=1时候 y(1)=0能帮我解释这一部吗?

Answer 1

求两次导数
过程中不要整理

把x=1代入原隐函数方程得y(1)=0;

y=y(x)有方程e的y次方 +xy=e确定
则对等式两边同时对x求导有:
e的y次方·y'+y+xy'=0; ①
把x=1,y(1)=0代入等式①得
y'(1)=0;

对等式①两边同时对x求导得:
e的y次方·(y')的平方+e的y次方·y''+y'+(y'+xy'')=0; ②
把x=1,y(1)=0和y'(1)=0代入等式②得
e的0次方·0的平方+e的0次方·y''+0+(0+1×y'')=0;
整理得y''=0.

Answer 2

写错了吧？求的是y''(0)吧？把x＝0代入方程即可求出y＝1

求出了y'＝－y/(e^y+x)后，两边继续求导，求出y''，其中会用到y'的表达式：
y''＝－[y'(e^y+x)－y(e^yy'+1)]/(e^y+x)^2

这里因为只是求x＝0时的y''，所以我们可以不要求出y''的最后表达式，先把x＝0，y＝1代入y'＝－y/(e^y+x)中，得y'(0)＝－1/e，再把x＝0，y＝1，y'＝－1/e代入y''的表达式中，得y''(0)＝1/e^2