Question

高等代数题求解

Answer 1

第（2）题
r(A)=3
说明相应齐次线性方程组的基础解系中，只有1个解向量。
而显然α₂-α₃=(α₁+α₂)-(α₁+α₃) = (2,2,2,2)T是一个基础解系

而由于α₁，α₂，α₃都是特解，取其中一个，加上任意倍数的基础解系，得到通解。
则通解是
α₁+C(α₂-α₃)=α₁+C(2,2,2,2)T
其中C是任意常数。

第（3）题

因为r(A|b) >= r(A)
而当r(A|b)>r(A)时，显然非齐次方程组Ax=b无解，此时命题显然成立。
下面只考虑r(A|b)=r(A)=r<n的情况

此时非齐次方程组Ax=b的通解是

a+C1x1+C2x2+...+Cn-r x n-r
其中a是特解，Ci是常数。

而向量组a,x1,x2,...,xn-r中n-r+1个向量线性无关（否则，Ax=b通解中有零解，而这是不可能的，因为b不等于0，得出矛盾！）。

则向量组a,x1,x2,...,xn-r，是一个极大无关组，构成方程组Ax=b的解空间中的一组基，
解空间维数是n-r+1（即向量组的秩）。
因而解空间中，线性无关的解最多只有n-r+1个