Question

求解题思路

Answer 1

平方和公式1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6
(n+1)³-n³=3n²+3n+1，
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
..............................
3³-2³=3×2²+3×2+1
2³-1³=3×1²+3×1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+…+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+…+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+…+n²)+3(n+1)n/2+n
整理后得1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
(1²+2²+3²+...+n²)/n²=(n+1)(2n+1)/6n
(1²+2²+3²+...+n²)/n²-n/3=(3n+1)/6n
故所求极限为1/2

追问

第一步为什么

追答

利用立方差公式
n³-(n-1)³=[n²+(n-1)²+n(n-1)]
=n²+(n-1)²+n²-n
=2n²+(n-1)²-n
2³-1³=2*2²+1-2
3³-2³=2*3²+2²-3
4³-3³=2*4²+3²-4
.
n³-(n-1)³=2*n²+(n-1)²-n
各等式全相加
n³-1³=2*(2²+3²+...+n²)+[1²+2²+...+(n-1)²]-(2+3+4+...+n)
n³-1=2*(1²+2²+3²+...+n²)-2+[1²+2²+...+(n-1)²+n²]-n²-(2+3+4+...+n)
n³-1=3*(1²+2²+3²+...+n²)-2-n²-(1+2+3+...+n)+1
n³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)-1-n²-n(n+1)/2
3(1²+2²+3²+...+n²)=n³+n²+n(n+1)/2=(n/2)(2n²+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6