Question

∑an(x-1)^n在x=0处收敛，在x=2处发散，则该幂级数的收敛半径为（请详细解答，谢谢）

Answer 1

根据比值法
设Un=an (x-1)^n
Un+1=an+1 (x-1)^(n+1)
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim n→∞ |an+1 (x-1)^(n+1)/an (x-1)^n|
=lim |x-1| |an+1/an|
=R|x-1|＜1
收敛区间
|x-1|＜1/R
-1/R +1＜x＜1/R +1
要满足0＜x＜2，则R≤1
而当x=0时收敛，x=2时发散
收敛域为[0，2)
所以收敛半径为R=1

Answer 2

引用sinerpo的回答：
根据比值法
设Un=an (x-1)^n
Un+1=an+1 (x-1)^(n+1)
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim n→∞ |an+1 (x-1)^(n+1)/an (x-1)^n|
=lim |x-1| |an+1/an|
=R|x-1|＜1
收敛区间
|x-1|＜1/R
-1/R +1＜x＜1/R +1
要满足0＜x＜2，则R≤1
而当x=0时收敛，x=2时发散
收敛域为[0，2)
所以收敛半径为R=1

an/an+1=R,你写反了。