Question

若f(x)在a,b 上有界，且只有有限多个间断点，则f(x)在a,b 上可积。在这里为什么要强调

只有有限多个间断点?

Answer 1

1、例如这个函数

f（x）=1（x是有理数）；0（x是无理数）

很明显，这个函数是个有界函数，函数值只有1和0两个值。

而这个函数在任何区间内都有无数个间断点、所以在任何区间内都不可积。

所以有界是可积的不充分条件。

2、例如这个函数

f（x）=1（x＜0）；0（x≥0）

这个函数不是连续函数，有一个跳跃间断点。但是这个函数在包含0的区间内是可积的。

所以连续不是可积的必要条件。

扩展资料：

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

参考资料来源：百度百科-间断点

Answer 2

定积分就是面积
可以想象为是无穷多条线集合在一起形成的
而函数的有限多个间断点
实际上就是让积分之后的面积去掉了几条线
不影响面积的大小
而如果是无限多个间断点
就无法确定定积分的情况