Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)对于任意x,y∈(0，+∞)均满足f(x)f(y)=

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)对于任意x,y∈(0，+∞)均满足f(x)f(y)=f(xy)，请求证:对于任意x∈(0,+∞)均有f(x)>0.

Answer 1

这个题目是有问题的. 因为f(x)恒为0 显然满足要求.

对于f(x)不为0 的情况, 证明如下

Answer 2

（1）∵对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1， ∴令x=y=2，则f（4）=2f（2）-1， ∵f（4）=5，∴f（2）=3；（2）不等式f（m-2）≤3即为f（m-2）≤f（2）， ∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数， ∴m-2＞0，且m-2≥2， ∴m≥4． ∴不等式的解集为[4，+∞）．

Answer 3

供参考

Answer 4

题目不全，f(x)恒＝0，也满足
f(x)f(y)＝f(xy)