Question

已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R）．（1）讨论f（x）=ex-ax-1（...

已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R）． （1）讨论f（x）=ex-ax-1（a∈R）的单调性； （2）若a=1，求证：当x≥0时，f（x）≥f（-x）．

Answer 1

（1）解：f′（x）=ex-a．
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，令f′（x）＞0，得x＞lna；令f′（x）＜0，得x＜lna．
综上，当a≤0时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
当a＞0时，增区间是（lna，+∞），减区间是（-∞，lna）．
（2）证明：令g（x）=f（x）-f（-x）=ex-1ex-2x，
则g′（x）=ex+e-x-2≥2ex•e-x-2=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，∴g（x）≥g（0）=0，
∴f（x）≥f（-x）．