Question

高数题，求解哪里出错了，答案是2？

Answer 1

最后一步 o(x-1)/o(x-1) 不能得出1的结论
在x→1时，高阶无穷小o(x-1)是看作0的，不能直接相除
要继续泰勒展开到(x-1)²项，并忽略掉更高阶的o(x-1)²
由于[e^(xlnx)]'=e^(xlnx)(1+lnx)，
则[e^(xlnx)]''=e^(xlnx)/x+e^(xlnx)(1+lnx)²，x=1时其值为1+1=2
所以x→1时分子=x-[1+(x-1)+2/2·(x-1)²+o(x-1)²]=-(x-1)²（o(x-1)²~0）
又(lnx)'=1/x，则(lnx)''=-1/x²，x=1时其值为-1

所以x→1时分母=1-x+[(x-1)-1/2(x-1)²+o(x-1)²]=-1/2(x-1)²（o(x-1)²~0）
因此原式=lim{x→1} -(x-1)²/[-1/2(x-1)²]=2
ps.其实对于0/0型的分式求极限，可直接使用洛必达法则
就不用再纠结该泰勒展开到第几项了