Question

如图,已知直线+y=kx+b，与抛物线y=x^2，交于A,B两点,角AOB=90度，求证:直线AB必过定点和定点坐标（不能用相似三角形解）

Answer 1

问：如图,已知直线+y=kx+b，与抛物线y=x^2，交于A,B两点,角AOB=90度，求证:直线AB必过定点和定点坐标（不能用相似三角形解）

答：设直线和抛物线交于点A(x1, y1)和B(x2, y2)。首先求得直线的斜率k：由直线方程+y=kx+b得，直线的斜率为k。由抛物线方程y=x^2，代入直线方程得y1=kx1+b，y2=kx2+b。因为直线AB与抛物线交于两个点，所以x1^2 = y1 = kx1+b，x2^2 = y2 = kx2+b。令x1和x2的平均值为X = (x1+x2)/2，则有x1 = X + d，x2 = X - d，其中d = (x1 - x2)/2。将x1和x2代入x1^2 = kx1+b和x2^2 = kx2+b得：(X+d)^2 = k(X+d) + b，(X-d)^2 = k(X-d) + b。展开并整理得：X^2 + 2Xd + d^2 = kX + kd + b，X^2 - 2Xd + d^2 = kX - kd + b。将两个等式相加得2X^2 + 2b = 2kX，整理得X^2 - kX + b = 0。由于x1和x2是直线的两个交点，所以直线与抛物线的另一个交点O的x坐标为X。考虑直线的斜率，将斜率k带入直线方程+y=kx+

答：考虑直线的斜率，将斜率k带入直线方程+y=kx+b得：y = kx + b。由于角AOB=90度，所以斜率k的倒数为直线的斜率的负数，即-k。所以直线的方程可以写作y = -kx + b。把X带入直线方程y = -kx + b得：y = -kX + b。因此，O点的坐标为(X, -kX + b)。综上所述，直线AB必过点O(X, -kX + b)。