Question

利用平方差公式计算:(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1

Answer 1

题目已经提示了呀：“利用平方差公式”
平方差公式是“(a-b)*(a+b)=a^2-b^2”对吧？但是观察题目里的式子，显然少了(a-b)这一项（因为题目里都是加号的项，却唯独没有减号项），因此，我们便来人为地添上一个减号——分子分母同乘(2-1)：
原式=(2-1)*[(2+1)*(2^2+1)*(2^4+1)*(2^8+1)+1]/(2-1)
=[(2-1)*(2+1)*(2^2+1)*(2^4+1)*(2^8+1)+(2-1)*1]/1
=(2^2-1)*(2^2+1)*(2^4+1)*(2^8+1)+1
=(2^4-1)*(2^4+1)*(2^8+1)+1
=(2^8-1)*(2^8+1)+1
=2^16-1+1
=65536

注：
看到这个解法，可能你会问，我是怎么“突然”想到乘一项再除一项(2-1)，从而导致后面的“连锁反应”的？其实嘛，这题的解法看似微妙，但思路还是有迹可寻的，并非是“一下子”想到的。前面开始这段看上去比较“啰嗦”的话，其实就是一步步循序渐进的解题思路了。

Answer 2

:(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1
=(2+1)(2-1)(2^2+1)(2^2-1)(2^4+1)(2^8+1)+1
=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)+1
=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)+1
=(2^8-1)(2^8+1)+1
=2^16-1+1
=2^16
绝对正确